Владислав, "крестик" справа не удаляет документ, он удаляет аннотацию о нём из вкладки "Сегодня". При следующем обновлении страницы аннотация снова появится. Другие файлы, про которые вы говорите, также не удаляются, просто из "Сегодня" они со временем перемещаются на вкладку "Архив".
Увы, процедуры удаления документов из Кабинета Орфограммки не предусмотрено. Совсем.
